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62. 不同路径

题目

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 (起始点在下图中标记为 “Start” )。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角(在下图中标记为 “Finish” )。

问总共有多少条不同的路径?

示例 1:

输入:m = 3, n = 7
输出:28

示例 2:

输入:m = 3, n = 2
输出:3
解释:
从左上角开始,总共有 3 条路径可以到达右下角。
1. 向右 -> 向下 -> 向下
2. 向下 -> 向下 -> 向右
3. 向下 -> 向右 -> 向下

示例 3:

输入:m = 7, n = 3
输出:28

示例 4:

输入:m = 3, n = 3
输出:6

解题思路

这道题目用 动态规划 ,动态规划的关键点在于得到状态转移方程,这道题的状态转移方程其实也好得到,观察图可以发现:从左上角点到图中的任意一点的不同路径数等于到它上、右两个相邻点的不同路径数之和。也就是:

dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]

那么这道题也就很好做了:

func uniquePaths(m int, n int) int {
    dp := make([][]int, m, m)
    for i := 0; i < m; i++ {
        dp[i] = make([]int, n, n)
    }

    for i := 0; i < n; i++ {
        dp[0][i] = 1
    }

    for i := 0; i < m; i++ {
        dp[i][0] = 1
    }

    for i := 1; i < m; i++ {
        for j := 1; j < n; j++ {
            dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]
        }
    }

    return dp[m-1][n-1]
}

官方题解中除了动态规划还给出了一种方法,直接用组合数学公式,golang 只需一句话:

func uniquePaths(m, n int) int {
    return int(new(big.Int).Binomial(int64(m+n-2), int64(n-1)).Int64())
}

经验教训

略。

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